iOS13から、アプリがバックグラウンドに入った時に呼び出されるメソッドは、AppDelegateクラスではなく、SceneDelegeteクラスのsceneWillResignActive(_:)メソッドとsceneDidEnterBackground(_:)になったようです。
参考資料のURLでは、iOS13でもAppDelegateで呼び出されるようにできるような設定が書かれています。

SceneDelegate.swift

class SceneDelegate: UIResponder, UIWindowSceneDelegate {

    func sceneWillResignActive(_ scene: UIScene) {
        // Called when the scene will move from an active state to an inactive state.
        // This may occur due to temporary interruptions (ex. an incoming phone call).
        print("sceneWillResignActive")
    }

    func sceneDidEnterBackground(_ scene: UIScene) {
        // Called as the scene transitions from the foreground to the background.
        // Use this method to save data, release shared resources, and store enough scene-specific state information
        // to restore the scene back to its current state.
        print("sceneDidEnterBackground")
    }

}